[2015년 백신고]

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[2학년(이과) 2학기 중간 미적분2]

함수 [eqn: y=3 ^{-x+1} +2]의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

①

ㄱ. 그래프는 점 [eqn: (0,```5)]를 지난다.

ㄴ. 제[eqn: 1]사분면, 제[eqn: 2]사분면, 제[eqn: 4]사분면을 지난다.

ㄷ. [eqn: y=1+log _{3} (x+2)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]에
대하여 대칭이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄷ

[eqn: lim _{x -> 0} {} {e ^{ax} +b} over {ln(1+2x)} =3]을 만족하는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+2b]의 값은?

⑤

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: lim _{x -> {pi } over {2}} {} {pi -2x} over {sin LEFT ( x- {pi } over {2} RIGHT )}]의 값은?

①

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - {1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f(x)= {cases{ae ^{2x} -1&``(x LEQ 1)#lnx+b&``(x>1)}}]가 [eqn: x=1]에서 미분가능 하도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은?

③

① [eqn: - {1} over {e ^{2}}]	② [eqn: - {1} over {3e ^{2}}]	③ [eqn: - {1} over {4e ^{2}}]

④ [eqn: {e ^{2}} over {4}]	⑤ [eqn: {e ^{2}} over {3}]

곡선 [eqn: y=e ^{x-1} ln3x] 위의 점 [eqn: (1,```ln3)]에서의 접선의 [eqn: y]절편의 값은?

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: y=log _{4} (x+5)+log _{4} (1-x)]의 최댓값을 [eqn: alpha]라 할 때, [eqn: 2 ^{alpha }]의 값은?

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

부등식 [eqn: log _{5} (x-1)<log _{25} (3x+1)]을 만족시키는 자연수 [eqn: x]의 개수는?

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 27%]의 소금물 [eqn: 100 rm g]이 들어있는 컵이 있다. 이 컵에서 소금물 [eqn: 60rmg]을 따라내고 [eqn: 60rmg]의 물을 채우는 과정을 반복하여 컵에 담긴 소금물의 농도가 [eqn: 0.01%] 이하가 되게 하려고 한다. 이 과정을 최소 몇 번 반복해야하는가? (단, [eqn: log2=0.3], [eqn: log3=0.4]로 계산한다.)

②

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

두 부등식 [eqn: 3 ^{x} +3 ^{2-x} LEQ 3 ^{x+2} +1], [eqn: LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x} - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{y+2} GEQ 0]을 모두 만족시키는 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: {y} over {x+2}]의 최솟값은?

①

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

정의역이 양의 실수인 세 개의 로그함수 [eqn: f _{1} (x)=log _{a} x],
[eqn: f _{2} (x)=log _{b} x], [eqn: f _{3} (x)=log _{c} x]가 있다. 이 곡선 위의 네 점
[eqn: rmA LEFT ( 3,```it f _{2} (3) RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 9,``` it f _{3} (9) RIGHT )], [eqn: rmC LEFT ( 9,```it f _{2} (9) RIGHT )], [eqn: rm D LEFT ( 3,``` it f _{1} (3) RIGHT )]을 차례대로 이어 사각형을 만들었더니 넓이가 [eqn: 24]인 직사각형이 되었다. 이때, [eqn: a ^{4} +b ^{4} +c ^{4} = alpha + beta sqrt {3}]이다. [eqn: alpha - beta]의 값은? (단, [eqn: alpha], [eqn: beta]는 유리수이고, [eqn: 1<a<b<c]이다.)

④

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

그림과 같이 함수 [eqn: y=e ^{x}]와 [eqn: y=lnx] 사이에서 정사각형 [eqn: rm ABCD]가 놓여 있다. 점 [eqn: rmA], [eqn: rmC]는 각각 곡선 [eqn: y=e ^{x}], [eqn: y=lnx] 위의 점이고, 선분 [eqn: rm AB]는 [eqn: y]축과 평행하다고 할 때, 정사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이의 최솟값은?

①

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: sqrt {3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: sqrt {5}]

[eqn: cos(-15 ^{CIRC } )-sin195 ^{CIRC }]의 값은?

⑤

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {sqrt {6}} over {2}]

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수
[eqn: f(x)= lim _{x -> 0} {} {e ^{x} +e ^{2x} +e ^{3x} + CDOTS +e ^{nx} -n} over {sinx}]
라고 정의할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {f(n)}]의 합은?

③

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

다음 설명 중 옳지 않은 것은?

④

① 함수 [eqn: y=|tanx|]의 주기는 [eqn: pi]이다.

② 함수 [eqn: y=cos LEFT ( - {pi } over {2} x RIGHT )]의 주기는 [eqn: 4]이다.

③ 함수 [eqn: y=-sinx+1]의 최솟값은 [eqn: 0]이다.

④ 함수 [eqn: y=-2tan(2x+ pi )]의 점근선은 [eqn: x=- {pi } over {2}]이다.

⑤ 함수 [eqn: y=cos LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT )]의 그래프는 [eqn: y=sin(-x)]의 그래프와
겹쳐진다.

그림과 같은 두 부채꼴 [eqn: rm AOB], [eqn: rm COD]에 대하여 호 [eqn: rm AB]의 길이가 [eqn: 4 pi], 호 [eqn: rm CD]의 길이가 [eqn: {8} over {3} pi], 빗금 친 도형 [eqn: rm ACDB]의 넓이가 [eqn: 20 pi]이다. 도형 [eqn: rm ACDB]의 둘레의 길이를 [eqn: a+b pi]라 할 때, [eqn: 2a-3b]의 값은?

③

① [eqn: -6]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: - {pi } over {2} LEQ theta LEQ 0]일 때, 다음 방정식의 모든 근의 합은?

①

[eqn: sqrt {sin ^{2} theta } - sqrt {(2cos ^{2} theta -2) ^{2}} -|sin theta -cos theta |+2=0]

① [eqn: - {5} over {6} pi]	② [eqn: - {2} over {3} pi]	③ [eqn: - {pi } over {2}]

④ [eqn: - {pi } over {3}]	⑤ [eqn: - {pi } over {2}]

[eqn: csc` theta cot theta >0], [eqn: cos thetatantheta <0]을 동시에 만족시키는 각 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: sin theta +cos theta = {1} over {3}], [eqn: sin ^{2} theta -cos ^{2} theta = {sqrt {b}} over {a}]일 때, [eqn: 2a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 정수이고, [eqn: -10<a<10]이다.)

②

① [eqn: -9]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 23]

[eqn: f(x)=sin {pi } over {2} x]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {2}]의 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]라고 할 때, [eqn: f(a+b+c+d+e)]의 값은?
(단, [eqn: -3 LEQ x LEQ 6])

④

① [eqn: - {sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

함수 [eqn: f(x)=-sinx]에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: lim _{h -> 0} {} {f(h)} over {h} =-1]

ㄴ. [eqn: x=n pi + {pi } over {2}]일 때, [eqn: f(x)=1]이다. (단, [eqn: n]은 자연수)

ㄷ. 함수 [eqn: y=f(x)]의 도함수 [eqn: y=f `prime (x)]의 그래프는

[eqn: y]축에 대하여 대칭이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄷ

좌표평면 위에 세 점 [eqn: rm A(-2,```2)], [eqn: rm B(-1,```2)], [eqn: rm C(1,```1)]이 주어져 있다. 세 점을 이은 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: rm ANGLE ACB= theta]라 할 때, [eqn: cos theta]의 값은?

⑤

① [eqn: {sqrt {2}} over {10}]	② [eqn: {1} over {7}]	③ [eqn: {sqrt {5}} over {5}]

④ [eqn: {5} over {7}]	⑤ [eqn: {7 sqrt {2}} over {10}]

서술형

함수 [eqn: f(x)=x sinx- {pi } over {2}]에 대하여 다음 물음에 답하여라.

(1) [eqn: y=x- {pi } over {2}]	(2) [eqn: {3 sqrt {10}} over {10}]

(1) 함수 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( {pi } over {2} ,```f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의

방정식을 구하시오.

(2) (1)에서의 접선과 [eqn: y= {1} over {2} x]가 이루는 예각의 크기를

[eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos theta]의 값을 구하시오.

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: 4 ^{2x} +a CDOT 4 ^{x-1} +32=0]의 두 근의 비가
[eqn: 2:3]일 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: -48]

그림과 같이 [eqn: rm P]지점에서 높이가 [eqn: 36rmm]인 건물을 올려다 보니 앞    에 있는 건물에 가려서 윗부분 [eqn: 11rmm]만 보였다. [eqn: rm ANGLE BPA= theta]라고    할 때, 다음 물음에 답하여라. (단, 건물의 폭은 고려하지    않는다.)

(1) [eqn: {11} over {60}]	(2) [eqn: 10rmm]

(1) [eqn: tan theta]의 최댓값을 구하시오.

(2) [eqn: tan theta]가 최대일 때, [eqn: rm P]점에서 앞에 있는 건물까지의 거리가

[eqn: 12rmm]일 때, 앞에 있는 건물의 높이를 구하시오.

[2015년 백신고]

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